1.Տեղափոխելով լուցկու մեկ հատիկ` ստացի՛ր ճիշտ հավասարություն:

5+5-9=1

2.Երկու թվերի տարբերությունը 90 է, դրանցից մեկը 4 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտի՛ր այդ թվերը։

120;30

3. Գտի՛ր այն բնական թվերի քանակը, որոնք 8-ի բաժանելիս քանորդում և մնացորդում նույն թիվն է ստացվում։

9,18,27,36,45,54,63:

4. Վեց հատ երեքի և թվաբանական գործողությունների միջոցով ինչպես ստանալ ամենափոքր քառանիշ թիվը:

333×3+3:3=1000

5. Տրված 6 քարտերը դասավորիր այնպես, որ ստանաս 5-ի պատիկ հնարավոր ամենամեծ թիվը, որի հազարավորների կարգում գրված թվանշանը 2 անգամ մեծ է տասնավորների կարգում գրված թվանշանից։

9.89,107,43,2,5:

Պարապունք 72

Պարապմունք 72.
Ֆլեշմոբի խնդիրների քննարկում

1.Լուծելով թվաբանական ռեբուսը, նշի՛ր Ա, Բ, Գ տառերի փոխարեն թաքնված թվանշանները: ԱԲ+ԲԳ+ԳԱ=ԱԲԳ
19+98+81=198

2. Հաշվի՛ր պատկերի մակերեսը:

30×15=450
10×10=100
100:2=50
450+50+100=600

3.Արշավի վեց մասնակիցներից քանի՞ ձևով կարող ենք ընտրել 1 առաջապահ և 1 հետապահ:
30
4. 8Փուչիկ գնելու դեպքում Կարենին 200 դրամ պակասում է, իսկ 5 փուչիկ գնելու դեպքում` 1000 դրամ ավելանում է։ Որքա՞ն պետք է վճարել 6 այդպիսի փուչիկի համար։
400×6=2400
5. .Հաշվի՛ր

(–21) + (+8)=-13
–23 + (–14)=-37       
32 + (–41)=-11    
–29 + 27=-2   
34–(–7)=-27     
29 – (–11)=18
–70 – (–14)=-84     
–17 – (–34)=-53      
–52 – (–2)=-54      
(–43 – 14) – 32=-89 
(–18 + 6) – 39=-45

Խնդիրներ կենգուրուից (լրացուցիչ)

1.C
2.c
3.a

Պարապմունք 71

1.Գրիր ռացիոնալ թվեր( հինգ հատ), գտիր յուրաքանչյուրի բացարձակ արժեքը հակադիրը: օրինակ՝
9/6=-9/6,-10/25=10/25,75/16=-75,/16,-8/1=8/1,9/5=-9/5
բացարձակ արժեքը՝|-½|=½
hակադիրը՝ +½

2 Միավոր

2. Համեմատիր՝
-6 > -10
1/25 > 1/50
|-2/11| = |2/11|
-1.5/16 < -1.⅝
-7 <  7.½
10.⅔ < 11.⅔

6 միավոր

3.Կատարիր գործողությունը
45/51+1/51=46/51
-½+(-1/2)=-1
-⅙+2/6=1/6
-2/3×3/2=-1
¼+⅛=3/8
2.⅕+10.1/4=12.9/20
1.3/7:2/7=5
+25/27x(-9/10)=5/6
46:(-1/2)=-92

9 միավոր

4. Լուծիր խնդիրը՝
Ապրանքն արժեր 5000 դրամ: Նրա գինը բարձրացավ  20%-ով: Քանի՞ դրամով բարձրացավ գինը:

5000:100×20=1000

1 միավոր է

5. Ամբողջ թվերի և ռացիոնալ թվերի զույգի համար ստուգե՛ք գումարման տեղափոխական

օրենքի ճշտությունը.
տես օրինակը՝
+2/21   > -6/21
+2/21+(-6/21)=-4/21
-6/21+(+2/21)=-4/21

ա) –9, –1,

-1 + (-9) = -10
բ) +8/11  –10/11,

-10/11 + (+8/11)=-2/11
գ) –13/25, +14/25,

14/25 + (-13/25)=-27/25
դ) +8, 0,

0 + 8 = +8

Պարապմունք 70

1. 2, 3, 5, 7 թվանշաններով, առանց դրանք կրկնելու, գրեք բոլոր քառանիշ թվերը, որոնք բաժանվում են 2-ի:
6

2. Կրճատեք կոտորակը.
 ա) 75/100-3/4, բ) -42/63-(-2/3),
գ) 56/60-14/15, դ)-8/420-(-2/105)
ե) 72/24-3, զ) 75/25-3, է) -35/42-(-5/6)

3.Ծախսել են 750 դրամ, որը սկզբնական գումարի 1/6 -ն է: Գտեք սկզբնական գումարը:
750*6=4500

4. Օգտվելով գումարման օրենքներից՝ հաշվեք հարմար եղանակով:
 ա) 13/21 + (15/21 + 12/21)=40/21
բ) (21/35 + 7/35 )+ 23/35=51/35
գ) 190/601 + (370/601 + 10/601)=570/601
 դ) -37/41 + (17/41 + 20/41)=0

5. Գտեք երկու կոտորակ, որոնց տարբերությունը լինի.
ա) 1/8= 7/8-6/8
բ) 3 /10= 10/10-7/10
գ) 5/9= 9/9-4/9
դ) 5/7=8/7-3/7

6.Ճի՞շտ է արդյոք հավասարությունը:
ա) 1/2 · 1/3  = 1/3 · 1/2,
 բ) 1/4 · 2 /3 · 3 /7  = 3 /7 · 1 /4 · 2/ 3
գ) 2/3 · ( 1 /5  +  3 /4 ) = 2/ 3 · 1 /5  +  2 /3 · 3 /4 ,
դ) ( 1/ 2  +  1 /4 ) · 8 = 1 /2 · 8 +  1/ 4 · 8
Բոլորը ճիշտ են։

7. Հաշվիր հարմար եղանակով, տե՛ս օրինակը

ա) 48 · 5 /17 + 48 · 12 /17 = 48 · (5/17+12/17) = 48·17/17=48
բ) 55 · 7 /11 − 55 · 6 /11=5
գ) 11 /13 · 11 /15 +  11 /13 · 2/ 15=143/195
դ) 12/ 19 · 23 /15 − 12/ 19 · 4 /15=228/285
ե) 22 /21 · 5/ 14 +  20 /21 · 5 /14=210/294
զ) 47 /11 · 1 /2  − 25/ 11 · 1 /2=47/22-25/22=1

Պարապունք 69

Իրար հաջորդող ո՞ր բնական թվերի միջև է գտնվում կոտորակը.

ա)2.1/4= 2 և 3 , բ)1.5/6=1 և 2, գ)17.1/3=17 և 18 , դ)99.12/13= 99 և 100

2.Քառակուսու կողմը 22.¼ սմ է, գտեք քառակուսու պարագիծը:

22.¼ =89
3. Որոշե՛ք ուղղանկյան մակերեսը, որի չափումներն են՝

ա) 14.1/5սմ=71/5,  10սմ

S=71/5×10=710/5=142

բ)25.1/2=51/2 սմ, 2.1/4սմ

S=51/2×9/4=459/8

4. Ո՞ր թիվը պետք է գումարել՝

ա) 5.4/9-ին, որպեսզի ստացվի 15.4/9
15.4/9-5.4/9=10

բ) –3-ին, որպեսզի ստացվի –17=-14
-17—3=-14

5.Կատարեք հանումը՝

ա) (20 3/10)-(-8 1/4)=203/10+33/4=439/20

բ) + 14 7/9 — (-28 8/9)=42.15/9

գ)+11/100 — (-10.1/5)=+11/100+51/5=1020/100=102/10

6. Կատարեք գործողությունը՝
(9/100+7/10)x100/79=79/100×100/79=7900/7900=1

7. Օրվա գլուխկոտրուկը՝
Գտնելով օրինաչափությունը, նշի՛ր հաջորդ կոտորակը. 2/3, 5/7, 11/13, 17/19, 23/29

Կոտորակները կազմված են պարզ թվերից

Պարապմունք 68

Թեմա՝ Ռացիոալ թվերի գործողությունների օրենքները
Կարդա դասը.

Երբ մենք ասում ենք, օրինակ, որ բնական թվերի համար տեղի ունի բազմապատկման տեղափոխական օրենքը, նկատի ունենք, այս

a ⋅ b = b ⋅ a,
օրինակ՝  3 ⋅  6 = 6 ⋅ 3

այս հավասարությունը ճիշտ է ցանկացած a և b բնական թվերի համար։

Եթե a և b թվերը բնական թվեր չեն, այլ կոտորակներ են, ապա այդ հավասարությունը դարձյալ ճիշտ է, բայց արդեն կոտորակների բազմապատկման տեղափոխական

օրենքի համաձայն։
Օրիանակ՝
¼ ⋅1/5=1/20
1/5⋅1/4=1/20

Իրականում այդ օրենքը, ինչպես և թվաբանական գործողությունների մյուս բոլոր օրենքները ճիշտ են նաև ռացիոնալ թվերի համար:

Այսինքն՝ եթե a-ն, b-ն, c-ն ռացիոնալ թվեր են, ապա

1. a+ b = b + a.
2. a ⋅ b = b ⋅ a.
3. (a + b) + c = a + (b + c).

4. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
5. (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c

Քանի որ սովորական կոտորակներով և ռացիոնալ թվերով գործողությունները կատարվում են նույն բանաձևերի հիման վրա, դրա համար էլ թվաբանական օրենքները ճիշտ են նաև ռացիոնալ թվերի համար։

Առաջադրանքներ կրկնության համար
1. Գտե՛ք տրված թվերի հակադիր թիվը.
0,  -1.⅔,  -5,  +6,  -12.½,  +¾,  -56.⅛,  -10
0, 1.2/3, 5, -6. 12.1/2 -3/4 56.1/8, 10

2. Նշիր տրված թվերի բացարձակ արժեքները.
0,  -1.⅔,  -5,  +6,  -12.½,  +¾,  -56.⅛,  -10
0, 1.2/3, 5, 6, 12.1/2, 3/4, 56.1/8 10

3.Թվերը դասավարոիր աճման կարգով: Այնուհետև նշիր ամենամեծ և ամենափոքր թվերը.
0,  -1.⅔,  -5,  +6,  -12.½,  +¾,  -56.⅛,  -10
-56.1/8, -12․1/2, -10, -5, -1․2/3, 0, 3/4, +6։

4.Ամենափոքր երկնիշ ամբողջ թվից հանե՛ք ամենամեծ եռանիշ ամբողջ թիվը:

-10-999=-1009

5.Կատարիր գործողությունը.
–12x(-5)=60
-34+4=-30
+21-1-11=9
-36+3+33=0
0x12=0
-121:(-11)=11
+144:(1/2)=288
-65x(-2)=130
+125-(-125)=500

Առաջադրանքներ նոր դասից՝
6. Գրեք երկու ռացիոնալ թվեր, այնուհետև ստուգեք գումարման և բազմապատկման տեղափոխական օրենքները այդ թվերի համար:

10×4=40 4×10=40 1514+244=1758 244+1514=1758

7. Համոզվե՛ք, որ ռացիոնալ թվերի տրված զույգի համար գումարման, բազմապատկման տեղափոխական օրենքները ճիշտ են.
Օրինակ՝ 4/7 և 1/7
4/7+1/7=5/7
1/7+4/7=5/7
4/7×1/7=4/49
1/7×4/7=4/49

ա)1/5 և ⅗ ճիշտ է
բ)12 և 36 ճիշտ է
գ)-1/18 և 11/18 ճիշտ է
դ)2.1/3  և 10. ⅙ճիշտ է

Oրվա գլուխկոտրուկը:
Ինչի՞ է հավասար նկարում բերված պատկերի պարագիծը, եթե բոլոր հարևան կողմերը միմյանց ուղղահայաց են:

Պարապունք 67

Թեմա՝ Կամայական նշանի խառը թվեր
Հիշենք դրական անկանոն կոտորակմերը գրվում են խառը թվի տեսքով:
Օրինակ՝
15/4=3. ¾

Դրական խառը թվի առջև եթե ավելացնենք + նշանը, ապա կստացվի նույն թիվը, քանի որ այդ թվին համապատասխան անկանոն կոտորոկը չի  փոխվում:

Դրական խառը թվի առջև դնելով  – նշան, մենք համարում ենք այդ թիվը բացասական խառը թիվ, որը տրված խառը թվի համապատասխան անկանոն կոտորակի հակադիր կոտորակն է:

Օրինակ՝ -15/4=-3/3/4
իսկ -3.1/4 և +3.¼  թվերը հակադիր են:

Դիտարկենք կամայական նշանով խառը թվերի հետ գործողության օրինակներ

Առաջադրանքներ՝

1. Գրիր դրական և բացասական   խառը թվեր (հինգ օրինակ): 1․1/4,2․5/8,1․1/5,3․3/4,5․5․7,

5․-7/9,-10․10/21,-3․5/6,1,-4․4/5,-9․9․10
2.  Գրիր դրական խառը թվեր, դարձրու անկանոն կոտորակ  (հինգ օրինակ):1․1/4=5/4, 3/1/7=22/7, 6.2/3=20/3, 3.2/7=23/7 4.1/2=9/2
3. Գրիր բացասական խառը թվեր, դարձրու անկանոն կոտորակ  (հինգ օրինակ):

-10.2/7=72/7 -11.2/8=90/8
4. Կատարիր գործողությունը:
-1.1/2×2/3=-1
-3.1/4+(-1.1/4)=-4.1/2
+2.⅗:(-2.1/3)=-39/35
-1.1/9+(+10.2/9)
-1/56:1/112
+34.½:(-1.¼)
-12.½+(-10.½)
4.2/7+12.1/14
6.12/25-(-4.1/50)
10.11/14+(-1.2/7)
-23.⅕:1.⅖
-30.¼-(+34.3/4)

5. Բեռը տեղափոխելու համար անհրաժեշտ է 15 մեքենա՝ յուրաքանչյուրը 6.1/2տ բեռնատարողությամբ։ Նույն բեռը տեղափոխելու համար 2.1/2տ բեռնատարողությամբ քանի՞ մեքենա անհրաժեշտ

կլինի։

6. Ապրանքի գինը  46000 դրամ է, այն 15 %-ով բարձրացնելուց հետո որքանով (արտահայտված դրամով) կթանկանա ապրանքը:

Օրվա գլուխկոտրուկը՝
Տեղաշարժիր լուցկու 3 հատիկներն այնպես, որ ձկնիկը հակառակ ուղղությամբ լողա։

Դավիտ Հիլբերտ

Ծնվել է դատավոր Օտտո Հիլբերտի ընտանիքում, Քյոնիգսբերգի մոտ գտնվող Վելաու փոքր քաղաքում Պրուսիա Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո՝ Ռուսաստանի Կալինինգրադի մարզի Զնամենսկ ավան)։ Բացի Դավիթից, նրա ծնողներն ունեին նաև Էլիզա անունով կրտսեր դուստր։

1880 թվականին պատանին ավարտում է Վիլհելմի գիմնազիան և անմիջապես ընդունվում Քյոնիգսբերգի համալսարան, որտեղ ընկերանում է Հերման Մինկովսկու և Ադոլֆ Հուրվիցի հետ։ Նրանք հաճախ կատարում էին «մաթեմատիկական զբոսանքներ», որոնց ժամանակ եռանդով քննարկում էին գիտական խնդիրների լուծումները։ Ավելի ուշ Հիլբերտն օրինականացրեց այդպիսի զբոսանքները, որպես իր ուսանողներին ուսուցանելու անբաժանելի մաս։

1885 թվականին Հիլբերտը պաշտպանում է ինվարիանտների տեսության գծով թեզը, որի գիտական ղեկավարն էր Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանը, իսկ հաջորդ տարի դառնում է մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քյոնիգսբերգում (իսկական պրոֆեսոր 1892 թվականից)։ Դասախոսություններին Հիլբերտը վերաբերում էր չափազանց բարեխղճորեն և ժամանակի ընթացքում վաստակեց փայլուն դասախոսի համբավ։Կնոջ՝ Կետե Երոշի հետ, 1892 թվականՈրդին՝ Ֆրանցը

1888 թվականին Հիլբերտը կարողացավ լուծել «Գորդանի խնդիրը», որը հաճախ անվանում են «ինվարիանտների տեսության հիմնական թեորեմ», և ապացուցեց ինվարիանտների ցանկացած համակարգի համար բազիսի գոյությունը (ինքը Պաուլ Գորդանը կարողացել էր ապացուցել միայն թեորեմի մասնավոր դեպքը երկակի ձևերի համար)։ Հիլբերտի ապացույցը ոչ կոնստրուկտիվ էր (նա ապացուցել էր բազիսի գոյությունը, բայց չէր նշել, թե ինչպես կարելի է այն իրականում կառուցել) և քննադատվեց։ Այնուամենայնիվ, ինվարիանտների տեսությունում Հիլբերտի հիմնարար գյուտերը նրան դարձրին Եվրոպայի առաջատար մաթեմատիկոսներից մեկը։

1892 թվականին Հիլբերտն ամուսնանում է Կետե Երոշի հետ 1864-1945)։ Հաջորդ տարի ծնվում է նրանց միակ որդին՝ Ֆրանցը (1893-1969), որը տառապում էր հոգեկան հիվանդությամբ։

Մաթեմատիկա

1.Հետեւյալ թվերից ո՞րն ունի ավելի շատ բաժանարար` 6 , 9, 12, 16:

1) 6 2) 9 3) 12 4) 16

2.Քանի՞ հատ երկնիշ թիվ կա, որոնց գրառման մեջ առկա է 1 թվանշանը:

1) 10 2) 18 3) 19 4)այլարժեք

3.Արշակը գործուղման մեկնեց ուրբաթ օրը եւ վերադարձավ այդ օրվանից հաշված 39-րդ օրը: Ո՞ր օրը գործուղումից վերադարձավ Արշակը:

1)երկուշաբթի 2) չորեքշաբթի 3) շաբաթ 4) հինգշաբթի

4.Դպրոցի աշակերտական խորհրդ իընտրությունների ժամանակ Խաչիկը ստացավ ձայների 30%-ը, Վաչիկը՝ 45%-ը, իսկ Հրաչիկը՝25%-ը: Քանի՞ հոգի մասնակցեց ընտրություններին, եթե հայտնի է, որ Վաչիկը բոլոր ձայների կեսից 6 ձայն պակաս է ստացել:

1)120 2) 80 3) 60 4) այլարժեք

5.1,2,3,4,…,98,99,100 թվերից քանի՞ հատն են 7-ով մեծ այդ ցուցակի որեւէ թվից եւ 11-ով փոքր այդ ցուցակի մեկ այլ թվից:

1)77 2) 82 3) 90 4) 92

6.Այժմ ժամը 10:42 է: Ժամը քանի՞սը կլինի 1521 րոպեանց:

1)07:11 2) 10:43 3) 12:03 4) այլպատասխան

7.Եթե ապրիլ ամսվա օրերից 12-ն անձրեւոտ էին, ապա ապրիլյան օրերի քանի՞տոկոսն է եղել ոչ անձրեւային:

1)18% 2) 60% 3) 40% 4) այլպատասխան

8.6 հաջորդական բնական թվերի գումարը, որոնցից ամենամեծը հավասար է 30, հավասար է մեկ այլ 10 հաջորդական բնական թվերի գումարին, որոնցից ամենամեծը հավաար է

1)17 2)18 3) 21 4)այլ արժեք

9.Չինգաչունգ խաղալիս Կարենը ցույց տվեց հավասար քանակությամբ քար և մկրատ, իսկ թուղթ ցույց տվեց ընդհանուրի 46%-ի չափով: Ընդհանուրի քանի՞ տոկոսի դեպքում Կարենը չի ցուցադրել մկրատ:

1) 73% 2) 54% 3) 27% 4) այլպատասխան

10.Վերամբարձ կռունկը կարող է բարձրացնել 20 մեծ կամ 30 փոքր արկղ: Առավելագույնը քանի՞ փոքր արկղ կարող է բարձրացնել վերամբարձ կռունկը 14 մեծ արկղերի հետ միաժամանակ:

1) 6 2) 7 3) 8 4) 9

Խնդիրներ Կրթահամալիրի հետ կապված

Միջին դպրոցում կար 1000 10 տարեկան երեխա բայց նրանցից 200-ը 12 տարեկան երեխա էն:Իսկ 106 13 տարեկան,անցավ 5 տարի այդ տարիների մեջ,13 տարեկան երեխաների խմբից դուրս եկավ 20 երեխա քանի երեխա անցավ Ավագ դպրոց:

Լուծում

1000-200=800

800-106=694

694×5=3470

3470-20=3450

Պատ.՝3450 սովորող

Քոլեջում ՝ մաթեմատիկայի քննությանը մասնակցեց 19 սովորող, նրանցից քանի՞սն էին ստացել 10, եթե ամեն մի չորրորդ սովորողը ստացել է 10։

4 սովորող

Արևմտյան դպրոցում կար 350 սովորող, ընդհանուր պարապունքին մասնակցում էր 189 սովորող, Քանի՞ սովորող էր բացակա։

350-189=161